Kapitel 01

Regelmäßige Vielecke

Ein regelmäßiges n-Eck hat n gleich lange Seiten und n gleich große Winkel. Seine Ecken liegen alle auf einem Kreis, dem Umkreis. Hier konstruierst du es Schritt für Schritt, nur mit Zirkel und Lineal: Wähle die Anzahl der Ecken, dann klick dich durch die Anleitung oder lass sie ablaufen. Alles lässt sich auf Papier nachzeichnen.

Warum lässt sich nicht jedes n auswählen?

Die Spielregeln. Erlaubt sind nur zwei Werkzeuge. Mit dem Lineal darf man eine Gerade durch zwei bekannte Punkte ziehen, aber nichts abmessen, denn es hat keine Skala. Mit dem Zirkel darf man um einen bekannten Punkt einen Kreis schlagen, dessen Radius eine schon vorhandene Strecke ist. Neue Punkte entstehen nur dort, wo sich Geraden und Kreise schneiden.

Was damit geht. Mit diesen Regeln kann man Strecken addieren, halbieren, multiplizieren und vor allem Quadratwurzeln ziehen. Mehr nicht. Ob ein n-Eck konstruierbar ist, hängt also davon ab, ob sich seine Ecken mit Quadratwurzeln allein ausrechnen lassen.

Die Antwort (Satz von Gauß und Wantzel). Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann exakt konstruierbar, wenn n eine Zweierpotenz ist, mal lauter verschiedene Fermat-Primzahlen. Fermat-Primzahlen sind Primzahlen der Form 22k + 1. Bekannt sind nur fünf: 3, 5, 17, 257 und 65537.

Bis 32 bleiben damit übrig: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32.

Zwei Beispiele.

  • 7-Eck: 7 ist zwar eine Primzahl, aber keine Fermat-Primzahl. Die Gleichung für seine Ecken lässt sich nicht nur mit Quadratwurzeln lösen, man bräuchte Kubikwurzeln.
  • 9-Eck: 9 = 3 · 3, die 3 kommt doppelt vor. Für das Neuneck bräuchte man einen 40°-Winkel. Den bekommt man, wenn man 120° drittelt, und genau diese Dreiteilung des Winkels ist mit Zirkel und Lineal unmöglich. Das ist eines der drei klassischen Probleme der Antike.

Ein einfacher Test zum Nachrechnen: Zähl, wie viele Zahlen von 1 bis n keinen gemeinsamen Teiler mit n haben. Ist das Ergebnis eine Zweierpotenz (1, 2, 4, 8, 16, …), ist das n-Eck konstruierbar. Beim 17-Eck sind es 16, das klappt. Beim 7-Eck sind es 6, beim 9-Eck ebenfalls 6 (1, 2, 4, 5, 7, 8), beide klappen nicht.

Und die Anleitungen im Netz? Wer eine „Konstruktion“ für ein 7- oder 9-Eck findet, hat eine Näherung vor sich. Manche sind so gut, dass man den Fehler mit Bleistift kaum sieht. Solche Näherungen erscheinen hier in der Auswahl mit dem Zusatz „Näherung“, und die Seite rechnet nach, wie weit sie danebenliegen.

Wie man zu den größeren n kommt: Die meisten entstehen aus einfacheren Vielecken durch Verdoppeln. Aus dem 4-Eck wird das 8-, 16- und 32-Eck, aus dem 5-Eck das 10- und 20-Eck, aus dem 12-Eck das 24-Eck. Das 15-Eck kombiniert Dreieck und Fünfeck, daraus wird das 30-Eck. Nur das 17-Eck braucht eine ganz eigene, lange Konstruktion. Es fehlt hier noch und folgt später.

Alle Schritte

Zum Ausdrucken oder Nachzeichnen. Ein Klick auf einen Schritt zeigt die Zeichnung bis dorthin. Mit den Pfeiltasten ← → geht es auch.

    Ein bisschen Geschichte

    Euklid (um 300 v. Chr.) beschreibt in Buch IV seiner Elemente, wie man das Dreieck, das Quadrat, das Fünfeck, das Sechseck und das 15-Eck in einen Kreis einzeichnet. Dazu kommt das Halbieren: Aus jedem n-Eck wird so ein 2n-Eck. Über 2000 Jahre lang ging man davon aus, dass damit alles gesagt ist.

    Am 30. März 1796 fand der 18-jährige Carl Friedrich Gauß heraus, dass auch das 17-Eck konstruierbar ist. Die Entdeckung soll ihn dazu gebracht haben, Mathematiker zu werden statt Sprachwissenschaftler. 1801 veröffentlichte er in den Disquisitiones Arithmeticae, dass alle n-Ecke mit den oben genannten Fermat-Primzahlen konstruierbar sind. Am Gauß-Denkmal in Braunschweig ist deshalb ein 17-zackiger Stern zu sehen.

    Dass es nur diese n-Ecke sind, hat Gauß behauptet, aber nicht bewiesen. Den Beweis lieferte 1837 der französische Mathematiker Pierre Wantzel. Im selben Aufsatz zeigte er auch, dass die Dreiteilung des Winkels und die Würfelverdopplung mit Zirkel und Lineal unmöglich sind.

    Die nächsten Fälle wurden zu Fleißarbeiten: Friedrich Julius Richelot beschrieb 1832 die Konstruktion des 257-Ecks. Johann Gustav Hermes arbeitete rund zehn Jahre am 65537-Eck. Sein Manuskript von mehreren hundert Seiten (1894) liegt in einem Koffer an der Universität Göttingen.

    Quellen